Teorema del Coseno
El teorema del seno (o teorema de los senos) relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera. Éste enuncia que:
Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).
La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.
Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.
Aplicaciones del teorema del seno
- Sabiendo dos ángulos y un lado opuesto a cualquiera de ellos, calcular los otros dos lados y el otro ángulo.
- Sabiendo dos lados y un ángulo opuesto a uno de los dos lados, calcular el otro lado y los otros dos ángulos.
- Calcular el área de un triángulo.
Ejercicio
ANUNCIOS
Sea un triángulo con un lado conocido (b=8 cm) y dos ángulos conocidos (B=85º y C=60º).
Calcularemos los lados (a y c) y ángulos (A) desconocidos gracias al teorema del seno.
- Los ángulos suman 180º, por lo que A+B+C=180º. Sabiendo B y C obtenemos A.
Se obtiene que A=35º. - Por la fórmula del teorema del seno tenemos que:
Simplificando podemos obtener los dos lados restantes (a y c).
Por lo que el lado a=4,6 cm y c=7 cm. - Se conoce el lado b y el ángulo opuesto B. Se calcula el radio (R) de la circunferencia en la que está circunscrita el triángulo.
El radio de la circunferencia es R=4,015 cm. Todas las razones entre los lados y el seno del ángulo opuesto serán proporcionales a 2R=8,03 cm.
Conociendo dos ángulos y un lado del triángulo hemos calculado los demás lados y ángulos, a parte del radio y diámetro de la circunferencia en la que está circunscrito el triángulo. Lo representamos todo en el siguiente dibujo:
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